Parallèles (mais presque)

Parallèles (mais presque)

💡 Cet énième titre désopilant de poilitude jeu-de-motesque vous annonce le sujet du jour : la géométrie, et notamment le parallélisme.

Comme vous le savez sans doute, on dit que deux droites sont parallèles si elles ne se coupent pas.

⚠️ Vous avez peut-être déjà entendu une personne voulant faire son intéressante vous dire :

Alors… est-ce que deux droites parallèles se coupent à l'infini ?

En fait, c'est une façon assez maladroite de présenter les choses…

💡 C'est le moment d'appeler notre ami Sohcahtoa !

Dans notre cas, si on regarde l'angle a entre l'axe des ordonnées Dy et la droite D, la coordonnée x_P correspond au côté opposé. Le côté adjacent est connu, il mesure 1.

▶️ On peut donc facilement exprimer l'angle a en fonction de la position du point P sur l'axe des X (qui correspond à la taille du côté opposé).

Comment évolue cet angle quand le point P s'éloigne de l'origine ?

▶️ On peut le calculer, mais on peut aussi simplement en avoir l'intuition en regardant les images ci-dessus : plus P s'éloigne, plus l'angle se rapproche de 90°.

Quand la distance entre P et l'origine tend vers +∞, l'angle tend vers 90°.

Les droites deviennent donc de plus en plus proches d'être parallèles

(puisque D devient proche d'être perpendiculaire à l'axe des ordonnées, auquel l'axe des abscisses est lui aussi perpendiculaire, vous suivez ?).

💡 On pourrait donc hâtivement dire que si P est vraiment situé infiniment loin de l'origine, l'angle formé devient exactement 90°, les droites sont donc parallèles, avec un point d'intersection P à l'infini.

⚠️ J'en avais déjà causé dans mon article sur l'infini : en géométrie Euclidienne, l'infini est une limite et ne fait pas partie de l'espace, un point ne peut donc pas être « à l'infini », ça n'a pas de sens.

▶️ Pour finir, notons qu'il existe d'autres cas où on peut définir un point d'intersection pour deux droites parallèles : la géométrie projective, par exemple, le permet.

Et sur cette considération aussi géométrique que philosophique sur l'horizon, je vous dis au revoir de façon péremptoire.