Annonce : retrouvez-moi ce dimanche à 17h00 au Festival du Livre de Paris pour une séance de dédicaces de mon roman Sortilèges & Syndicats !

La quatrième dimension

Publié le 1 février 2021 par Gee dans Tu sais quoi ?
Inclus dans le livre Grise Bouille, Tome V

C’est l’heure de refaire un peu de maths… mais promis, c’est facile ! On va parler 2D, 3D… et 4D.

La quatrième dimension

Au commencement était la première dimension, X. À ce moment-là, les choses étaient simples, on avançait en ligne droite, pépouze. Le monde était peuplé de points, de segments, de demi-droites et de droites qui se marchaient quand même pas mal sur les pieds…

Sur une droite, plusieurs objets géométriques anthropormorphisés discutent. Le segment dit : « Dis donc, tu prends vachement de place, toi. » La droite répond : « Ah bah moi en tant que droite, je suis infinie alors… » Le point commente : « Vous manquez de ponctualité, les gens… » Le smiley : « Bon là, les yeux ne sont déjà plus en 1D mais c'est pour l'image… »

Ensuite, on inventa la seconde dimension, Y, perpendiculaire à la première. Ainsi naquirent les mondes 2D (comme le Royaume Champignon), ce qui permit aux surfaces de s'épanouir.

Super Mario saute en criant : « Yahoo ! » Un pièce de Tetris tombe en disant : « Visiblement, c'est aussi à ce moment qu'on inventa la gravité… » Un personnage coincé entre deux piliers dit : « Même en 2D, on se retrouve assez vite coincé… »

Puis vint Z, la troisième dimension, perpendiculaire aux deux autres, et l'avènement des volumes (et de notre univers physique propre, soit dit en passant).

Le personnage entre les deux piliers peut maintenant facilement les contourner et s'exclame : « Je suis liiiiiiibre ! » Gee commente : « Notez que là, vu que c'est un dessin, c'est en fait une représentation 2D d'un monde 3D.  Vu que j'ai pas encore la possibilité de faire apparaître des sculptures chez vous… »

Et lorsque l'on pose la question « qu'est-ce que la quatrième dimension ? », un chœur uniforme et sûr de lui s'exclame :

Le chœur uniforme et sûr de lui s'exclame : « MAIS C'EST LE TEMPS BIEN SÛR ! » Le smiley, surpris : « Ah merde, moi j'allais répondre “une série de SF des années 60”. »

Passons sur la fameuse série de SF (The Twilight Zone) qui faisait d'ailleurs allusion en VO à la cinquième dimension, pas la quatrième – mais c'est la conversion dollar/franc qui a foutu le bazar là-dedans (enfin, je crois).

Alors il va falloir arrêter de penser automatiquement au temps dès qu'on vous cause de dimension supérieure à 3.

Déjà parce qu'à partir de là, si je vous demande quelle est la cinquième dimension, vous allez galérer.

Un mec lambda réfléchit : « Euuuh, bah j'sais pas, la température extérieure ? » La Geekette, blasée : « Ouais ou alors la couleur du cheval blanc d'Henri IV ? » Le smiley rigole : « Bah pour le coup, c'est The Twilight Zone, voilà. »

Ensuite, parce qu'il ne vous aura pas échappé que les espaces 1D, 2D et 3D dont je parlais ont des dimensions de même type (spatiales) qui permettent notamment de faire des calculs géométriques avec.

Gee développe : « On appelle ça des espaces Euclidiens, dans lesquels on peut par exemple calculer des distances – euclidiennes, du coup. » Les formules des distances en 1D, 2D et 3D sont données (on fait la différence des coordonnées X, Y et Z selon ce qu'on a, chaque différence étant élevée au carré, et on prend la racine carrée de la somme de ces carrés).

Si vous essayez d'étendre ce genre de formule avec une dimension qui n'est pas spatiale (genre le temps), vous allez avoir un petit problème d'homogénéité dans votre formule.

En termes simples :

Un prof de maths à collier de barbe s'exclame tout content de lui : « Vous essayez d'additionner des pommes et des oranges ! Haha ! Allons, soyons sérieux, voyons. » Gee commente : « Réplique préférée des profs de collège. »

Je sais ce que vous allez me dire : oui, mais si on multiplie la quatrième dimension par la vitesse (au hasard, celle de la lumière), PAF ! C'est homogène, merci, au revoir messieurs-dames.

La Geekette, en train de siroter un verre, commente : « Moi j'allais te dire que j'avais additionné des pommes et des oranges, et que ça faisait un smoothie pas dégueu, mais okay. » Gee répond avec un sourire en coin : « Je m'adressais aux gens qui se préparent déjà à ramener leurs fraises dans mes mentions sur les rézozozios. »

C'est l'idée derrière la notion « d'espace-temps », utilisée dans les théories de la relativité, qui n'est plus un espace Euclidien mais pseudo-Euclidien (espace de Minkowski pour être précis).

Mais laissons Minkowski tranquille et restons avec ce bon vieil Euclide.

On peut tout à fait définir des dimensions spatiales supérieures, sur le même principe que X, Y et Z.

Le mec lambda s'exclame en panique : « Mais non ! Il faudrait une dimension perpendiculaire aux 3 premières ! C'est pas possible ! » La Geekette note : « Dans notre monde physique, non, car il est en 3D. Tout comme il est impossible de dessiner quelque chose en 3D sur une feuille 2D, on représente juste une projection. »

La Geekette poursuit : « Mais même Mario sur Super NES pourrait faire des calculs en 3D, même si son monde est en 2D.  De la même manière, on peut faire des calculs en 4D ou plus, même si notre monde n'est qu'en 3D. » Super Mario calcule une distance en 3D avec les coordonnées X, Y et Z et s'exclame : « Bon sang mais c'est bien sûr ! »

Tous les calculs possibles en 1D, 2D, 3D se généralisent en 4D, 5D, 6D, etc. Et les objets géométriques aussi :

Le segment 1D devient un carré en 2D, qui devient un cube en 3D, qui devient un terreract en 4D (soit un hypercube de dimension 4, ou 4-cube).

Le cercle 2D devient une sphère en 3D, qui devient une hypersphère de dimension 4, ou 4-sphère. Le smiley commente : « Bon forcément, une projection 2D d'une sphère ou d'une hypersphère, ça ressemble vachement à un cercle… »

Bien sûr, les concepts comme la surface ou le volume se généralisent aussi…

Un segment 1D a une longeur L. Il a 2 extrémités qui sont des points – des objets 0D, en quelque sorte.

Un carré 2D a une surface L². Il a 4 côtés qui sont des segments 1D, reliés entre eux par 4 points 0D.

Un cube 3D a un volume L³. Il a 6 faces qui sont des carrés 2D, 12 segments 1D, 8 points 0D…

Un tesseract 4D a… un « hypervolume » L4 ? Il est borné par 8 cubes 3D, eux-mêmes connectés par 24 faces carrées 2D, elles-mêmes bornées par 32 segments 1D, le tout reposant sur 16 sommets 0D. Le smiley commente : « Bon forcément, là ça commence à devenir compliqué à se représenter… »

Et là, vous allez me poser la question qui tue…

Mais à quoi ça sert ?

Gee, bras croisés, l'air taquin : « À rien, c'est pour faire parler les cons. » La Geekette : « Ah bah bien, on insulte les gens qui nous lisent, maintenant ? » Gee : « Mais nan, c'était un hommage à Jean-Pierre Bacri et aux chevaliers-paysans de l'an 1000 au lac de Paladru… »

Eh bien par exemple, ça peut avoir des applications en statistiques…

Gee explique, à côté d'une distribution de points en 2D : « Si on fait un point par élève en utilisant sa moyenne en maths en abscisse et sa moyenne en physique en ordonnée…  On observera sans doute une corrélation qu'on pourra modéliser par une ligne en 2D. »

Imaginons maintenant qu'on veuille faire le même genre de calcul mais en ajoutant les notes en SVT :

Gee montre cette fois un graphique en 3D : « En supposant que ces 3 matières aient une forte corrélation, on aurait une droite dans un espace 3D. »

Et si au lieu des SVT, on mettait une matière comme le français :

Gee montre un autre graphique en 3D, où les points sont sur un plan : « Il y a sans doute peu de corrélation entre le français et les deux matières scientifiques, on verrait donc une surface 2D dans l'espace 3D. »

Et si on avait trois matières complètement décorrélées :

Gee à côté d'un dernier graphique 3D, où les points sont en bazar : « Ça ferait un gros nuage, donc une sorte de volume 3D… en 3D. »

Eh bien on pourrait faire le même genre d'observations en ajoutant autant de matières qu'on veut, en 4D, 5D, 6D, etc. Ou n'importe quelles autres observations statistiques dont on voudrait étudier les corrélations croisées…

Avec des lignes, des surfaces, des volumes… et leurs équivalents en hautes dimensions.

Il n'y a aucune raison de limiter ces calculs à de la 3D juste parce qu'on peut la visualiser.

Le Nerd réplique : « Éviter les maux de tête, ça me semble une bonne raison… » Gee est blasé, à côté.

Bref, en conclusion : une 4e dimension ajoutée à un espace 3D n'est pas nécessairement le temps, tout dépend en fait de ce qu'on veut modéliser.

Gee donne un exemple : « Genre dans un espace colorimétrique 3D RVB – rouge/vert/bleu –, si on ajoute une dimension, en général c'est la transparence alpha : l'espace 4D RGBA.  L'évolution de la couleur dans le temps, on s'en fout un peu… » La Geekette réplique : « Noob, l'espace quadrichromique de référence, c'est le CMJN, voyons. » Le smiley panique : « Ah non, commencez pas à embrayer là-dessus sinon on en a encore pour 10 pages… » Note : BD sous licence CC BY SA (grisebouille.net), dessinée le 30 janvier 2021 par Gee.

Publié le 1 février 2021 par Gee dans Tu sais quoi ?

🛈 Si vous avez aimé cet article, vous pouvez le retrouver dans le livre Grise Bouille, Tome V.

Soutenir

Ce blog est publié sous licence libre, il est librement copiable, partageable, modifiable et réutilisable. Il est gratuit car financé principalement par vos dons. Sans inscription, vous pouvez très simplement me soutenir :

Pour l'année 2023-2024, 9 410 € ont pour l'instant été collectés sur un objectif annuel de 21 000 € (SMIC brut), soit 45 % de l'objectif :

Sources de revenu

L'année étant entamée à 61 %, il y a actuellement un retard de 3 400 € sur l'objectif.

Avancement de l'année

Vous pouvez également, si vous le souhaitez, passer par une plateforme de financement participatif :